Занимался шахматами во Дворце пионеров города Тулы, выполнил норму первой категории в 1944 году. После войны жил в Туле (до 1953 г.), Минске (1953—1968), затем в Москве. В 21 год стал кандидатом в мастера, окончил институт
В 1950 году выполнил норму мастера спорта и дебютировал в финале чемпионата СССР. Всего же Суэтин выступал в финалах этих соревнований 10 раз. Лучшие результаты были достигнуты в 1960-х годах: 4-6-е места (1963) и 4-5-е (1965).
В Киеве Суэтин выступил уже как представитель Белоруссии. В 1953 г. он вместе с Кирой Зворыкиной переехал в Минск, где началось его творческое содружество с гроссмейстером И. Болеславским.
В 1953—1961 А. Суэтин принял участие в шести чемпионатах БССР по шахматам и неизменно выходил победителем (лишь в 1953 г. он разделил 1—2-е места с мастером В. Сайгиным). В это же время он начал писать книги и статьи по шахматам, вести шахматные передачи на белорусском телевидении.
Стал первым представителем БССР, добившимся звания международного гроссмейстера
В составе сборной СССР участник матчей с командами Венгрии, Польши и Югославии.
В 1961 году А. Суэтин вошёл в команду Тиграна Петросяна для подготовки к очередному циклу розыгрыша первенства мира. В матче 1963 года Петросян стал чемпионом мира, обыграв М. Ботвинника
1965 г. - стал международным гроссмейстером, выиграв турниры в Сараево и Копенгагене. Впоследствии на его счёту было 10 побед в международных турнирах.
С начала 1970-х и до конца 1980-х занимался преимущественно тренерской работой и литературной деятельностью, в 1970 году тренировал Б. Спасского.
Работал в качестве шахматного комментатора на советском Центральном телевидении, с 1984 года комментировал матчи на первенство мира между Карповым и Каспаровым.
В 1996 году стал чемпионом мира среди "сеньоров".
Умер 10 сентября 2001 г. в Москве. Похоронен в колумбарии на Новом Донском кладбище (Донской район)
Первая жена — Кира Алексеевна Зворыкина (1919—2014), шахматистка, гроссмейстер по шахматам. В разводе с Зворыкиной с 1961 года
Сын — Александр Алексеевич Суэтин, экономист, доктор экономических наук.
Вторая жена — Евгения Антоновна Суэтина (1928—2022), филолог. Брак продлился 40 лет.
Дочь — Елена Алексеевна Суэтина (1961—2023), художник
Гроссмейстер (1965).
Сочинения:
Автор более 40 книг по теории дебюта и миттельшпиля, а также вышедших за рубежом работ о советских чемпионах мира — Ботвиннике и Петросяне, гроссмейстерах Кересе и Бронштейне.
Суэтин А. С. Избранные партии 1947—1966 гг. — Минск: Беларусь, 1969.
Суэтин А. С. Столь долгое единоборство. Записки комментатора четырёх матчей за шахматную корону. — Москва: Московский рабочий, 1989. — 224 с. — ISBN 5-239-00612-1.
Суэтин А. С. Путь к мастерству. — М.: Физкультура и спорт, 1980.
Испанская партия. — М.: Физкультура и спорт, 1982. — 320 с. — (Теория дебютов). — 100 000 экз.
Французская защита. — М.: Физкультура и спорт, 1983. — 208 с. — (Теория дебютов). — 100 000 экз.