Пётр Николаевич Клюев родился 20 апреля 1922 года в деревне Кишкино (ныне — Ленинский район Тульской области). Русский.
1924 г. - переехал в Тулу, где окончил семь классов школы и аэроклуб, работал слесарем.
В мае 1941 года Клюев был призван на срочную службу в Рабоче-Крестьянскую Красную Армию.
В сентябре 1942 года он окончил Молотовскую военную авиационную школу лётчиков.
С июня 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Северо-Кавказском, Южном, Ленинградском фронтах.
К марту 1944 года Пётр Клюев командовал звеном 50-го штурмового авиаполка 206-й штурмовой авиадивизии 8-й воздушной армии 4-го Украинского фронта. К тому времени он совершил 118 боевых вылетов на штурмовку и бомбардировку скоплений боевой техники и живой силы противника, его аэродромов и переправ.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года за "мужество и героизм, проявленные в боях" лейтенант Пётр Клюев был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
После окончания войны Клюев продолжил службу в Советской Армии.
В 1947 году он окончил Краснодарскую высшую офицерскую школу штурманов.
Погиб в автиационной катастрофе на аэродроме Броды во Львовской области Украины. Похоронен в Бродах.